小學六年級數學容量與體積進階

排水法示意圖

🛁 浴缸大實驗！小華放滿一缸水，再走入去坐低，見到啲水溢出嚟！「溢出嘅水體積就係我身體嘅體積？」💡 排水法：浸沒物體體積 = 溢出水量！

📖 故事情境

🏟️ 設計師大挑戰！
學校要起一個新操場。校長問同學：「如果操場係長方形，長 50 米、闊 30 米，要鋪幾多平方米嘅地墊？」
小明舉手話：「我知道！長 × 闊 = 50 × 30 = 1,500 平方米！」
校長又問：「咁操場外圍要起圍欄，要幾多米？」小美即刻答：「(50+30) × 2 = 160 米！」
今日我哋一齊嚟學各種圖形嘅面積、周界同體積計算！

🛁

🔬 情境插圖：浴缸大實驗

小華放滿一缸水，再走入去坐低，見到啲水溢出嚟！
溢出嘅水體積就係小華身體嘅體積！💡 排水法：物體體積 = 溢出水量。

💧

排水法

霖楓學苑 · LF Academy

小六 · 第 16 堂 · 學生版講義

容量與體積進階

排水法 · 溢出問題 · 多重物體 · 65 分鐘 · 一對三線上課程

對應教材：《小學數學新思維（第二版）》6上A冊單元六＋現代教育 6上單元7
核心陷阱：T8 排水法 — 用水面高度計算體積（而非高度差） · 忽略溢出條件
SSPA 關聯：高頻呈分試幾何應用題，佔卷一約 8-12%
前置知識：長方體/正方體體積公式 · 容量單位（L/mL）· 底面積概念
本堂目標：排水法求不規則物體體積 · 溢出條件判斷 · 多重物體情境 · 單位換算

學生姓名：班級：日期：完成時長：

家長30秒摘要

本堂重點：陷阱破解掌握關鍵概念呈分試關聯香港課程
學完本堂，小朋友將能夠：① 排水法求體積 ② 溢出判斷 ③ 部分浸沒（浮體） ④ 複合底面積 ⑤ 截面法×柱長 ⑥ 速率+體積綜合 ⑦ 多餘資訊過濾 ⑧ 呈分試殺手題
常見錯誤：混淆排水體積 vs 物體體積（浮體）；忘記截面×長度公式；被多餘資訊誤導；速率時間單位不統一
家中鞏固建議：完成課後功課（基礎5題+進階3題），重點留意🏔️終極挑戰題及陷阱診斷專區

一、熱身啟動題（5 分鐘）（共 5 題，5 分鐘）

🏆 陷阱獵人·計時挑戰

每題限時90秒！搵出隱藏嘅陷阱，答對+1分，連續答對分數加倍！留意題目中嘅「陷阱關鍵字」— 佢會話你知邊度最易出錯！

⭐ 開始挑戰 →

📦 搬屋公司

一個紙箱長50cm闊40cm高30cm。搬屋公司話可以裝60,000cm³嘅嘢。呢個紙箱夠唔夠大？體積=長×闊×高！

新起嘅熊貓館係長方形，長15米闊8米。設計師要鋪地板，需要幾多平方米嘅木板？面積=長×闊，即刻計到！

海洋公園 —「熊貓館佔地幾多平方米？用面積公式計吓！」

#	題目	難度
1	一個長方體長 8 cm、闊 5 cm、高 4 cm，體積是多少 cm³？	基礎
2	8000 cm³ = ？L（複習）	基礎
3	容器的底面積是 200 cm²。水的高度上升了 3 cm。水的體積增加了多少 cm³？	進階
4	一個正方體的邊長是 10 cm，體積是多少？表面積是多少？（複習）	基礎
5	2.5 L = ？cm³（單位換算複習）	基礎

二、核心知識精講（15 分鐘）＋例題練習

知識點一：體積公式重溫 — 長方體與正方體複習

長方體體積：V = l × w × h（長 × 闊 × 高）
正方體體積：V = a³（邊長 × 邊長 × 邊長）
底面積：A_底 = l × w（長方形底面）
容量換算：1 L = 1000 mL = 1000 cm³；1 m³ = 1,000,000 cm³ = 1000 L

WHY BOX：體積 vs 面積 vs 容量 — 三者有甚麼不同？

面積（Area）：平面有多大 → 單位 cm², m²（二次方）
體積（Volume）：立體佔多少空間 → 單位 cm³, m³（三次方）
容量（Capacity）：容器能裝多少液體 → 單位 mL, L

關係：1 cm³ = 1 mL，1000 cm³ = 1 L
長方體體積 = 長 × 闊 × 高（三個維度相乘 → 三次方單位）
考試陷阱：題目給 cm 但答案要 L？先算 cm³，再 ÷1000 轉 L！

💡 容量vs體積關鍵區分：容量=容器能裝多少（L/mL），體積=物體佔多少空間（cm³/m³）。1cm³=1mL，1m³=1000L。排水法：物體體積=水位上升的體積。

長方體：V = l × w × h

常見錯誤：底面積計算時長和闊的數值調轉（在排水法中極常見）

知識點一例題練習

圖1：放入前

圖2：放入後（完全浸沒）

圖3：石頭太大→溢出

圖4：部分浸沒

圖5：順序放入多物體

圖6：雙缸轉移

#	題目	難度	作答區
例1	一個長方體魚缸長 30 cm、闊 20 cm、高 25 cm。求魚缸的容量（以L為單位）。
例2	一個正方體水箱邊長 40 cm，可盛水多少L？

知識點二：排水法 — 不規則物體體積SSPA 核心

核心原理：完全浸沒的物體所排開的水的體積 = 物體的體積
排水法公式：V_物體 = 容器底面積 × 水面上升高度
關鍵條件：

物體必須完全浸沒在水中
水面上升高度 = 投入後水面 − 投入前水面（高度差）
水的體積增加 = 物體的體積

陷阱引爆例題（排水法第一陷阱）

一個長方體水箱底面積 400 cm²，原有水深 15 cm。放入一塊石頭後，水深變成 18 cm。求石頭的體積。

世紀陷阱（50% 學生答錯）

400 × 18 = 7200 cm³

用了投入後水深 18 cm
但石頭體積 = 上升的水體積
不是整個水柱！

正確解法

400 × (18 − 15) = 1200 cm³

水面上升 = 18 − 15 = 3 cm
石頭體積 = 400 × 3 = 1200 cm³
必須用高度差！

口訣：「排開水量等體積，底面積乘上升高；唔好用新水位計，高度差先係關鍵」

最高頻錯誤：用水面新高度直接乘底面積做物體體積。必須用高度差（Δh = h_後 − h_前）！

第二高頻錯誤：忘記檢查物體是否完全浸沒。不完全浸沒則公式不成立！

知識點二例題練習

#	題目	難度	作答區
例3	水箱底面積 300 cm²，原有水深 12 cm。放入石頭完全浸沒後，水深升至 16 cm。求石頭體積。
例4	一個正方體水箱邊長 20 cm，原有水深 10 cm。放入一金屬塊後，水深變成 14 cm。金屬塊的體積是多少？
例5	一個長方體容器長 25 cm、闊 16 cm，內有水。放入一塊石頭後，水面上升 3.5 cm。石頭的體積是多少 cm³？
例6	水箱底面積 250 cm²。放入石頭前水深 20 cm，放入後水深 24 cm，但已知石頭只有 75% 浸沒在水中（25% 露出）。問：石頭的實際體積是多少？

知識點三：溢出問題 — 判斷水會否溢出SSPA 進階

溢出判斷步驟：

計算容器的剩餘空間：剩餘空間 = 容器總容量 − 現有水量
比較物體體積 V_物和剩餘空間 V_剩：

若 V_物 ≤ V_剩：不溢出，水面上升 = V_物 ÷ 底面積
若 V_物 > V_剩：溢出，溢出體積 = V_物 − V_剩
溢出後水面 = 容器高度（已滿）

陷阱引爆例題（溢出陷阱）

一個長方體水箱長 30 cm、闊 20 cm、高 25 cm。現有水高 22 cm。放入一塊 2500 cm³ 的石頭完全浸沒。水會溢出嗎？如果溢出，溢出多少？

世紀陷阱

水面上升 = 2500 ÷ 600 = 4.17 cm
新水面 = 22 + 4.17 = 26.17 cm（超頂！）

直接加算水面忘記檢查溢出
水面不能超過容器高度 25 cm！

正確解法

剩餘空間 = 600 × (25−22) = 1800 cm³
2500 > 1800，會溢出！
溢出 = 2500 − 1800 = 700 cm³

先計剩餘空間，再比較體積
溢出 = 物體體積 − 剩餘空間

口訣：「剩餘空間先計算，物體體積要比較；大過剩餘會溢出，溢出體積計差額」

溢出關鍵陷阱：必須先計算剩餘空間，不能直接用水面上升公式。水面不能超越容器高度！

知識點三同步練習

#	題目	難度	作答區
7	長方體容器長 25 cm、闊 18 cm、高 20 cm。現有水高 16 cm。放入一塊 1200 cm³ 的石頭，水會溢出嗎？
8	容器底面積 360 cm²，高 30 cm。現有水高 25 cm。放入物體體積 2000 cm³。溢出多少 cm³ 的水？
9	水箱長 40 cm、闊 25 cm、高 30 cm，裝滿了水。放入一塊石頭後，溢出 800 cm³ 的水。石頭的體積至少是多少？
10	一個正方體水箱邊長 15 cm，盛了 34 滿的水。放入一塊 600 cm³ 的石頭。水會溢出嗎？（提示：先計現有水量）

知識點四：多重物體情境 — 先取出A再放入BSSPA 殺手題

情境一：先取出物體A（水面下降）
水面下降高度 = V_A ÷ 底面積
下降後水深 = 原水深 − 下降高度

情境二：取出A後再放入B
新的水面變化 = (V_B − V_A) ÷ 底面積
若 V_B > V_A：水面淨上升
若 V_B < V_A：水面淨下降

情境三：放入多個相同物體
總上升高度 = (n × V_每個) ÷ 底面積

例題

例7：水箱底面積 500 cm²，原有水深 18 cm。先放入一塊 3000 cm³ 的鐵塊，再放入一塊 1500 cm³ 的銅塊。求最終水深。（容器高 40 cm）

例題

例8：水箱底面積 200 cm²，原有水深 25 cm，內有一塊 1000 cm³ 的石頭。先取出石頭，再放入一塊 1600 cm³ 的鐵塊。最終水深是多少？

知識點四同步練習

#	題目	難度	作答區
11	水箱底面積 480 cm²，原有水深 15 cm。先放入一塊 1440 cm³ 的物體A，再放入一塊 960 cm³ 的物體B。最終水深是多少？
12	水箱底面積 300 cm²，原有水深 20 cm，內有石頭一塊（體積 900 cm³）。先取出石頭，水面變為多少cm？再放入一塊 1200 cm³ 的金屬，最終水深是多少？
13	水箱底面積 250 cm²，原有水深 30 cm。放入5個完全相同的小球後，水面上升了 4 cm。每個小球的體積是多少？

三、課堂分層同步練習（20 分鐘）

🌱 基礎層（共 3 題，全體必做）

#	題目	難度	作答區
14	水箱底面積 400 cm²。放入石頭前水深 10 cm，放入後水深 13 cm。 (a) 石頭體積是多少？（2分） (b) 若水箱高 15 cm，還能再放入多大體積的物體而不溢出？（2分）
15	一個正方體容器邊長 12 cm，原有水深 8 cm。放入一個鐵球完全浸沒後，水面上升 3 cm。鐵球體積是多少？
16	長方體魚缸長 50 cm、闊 30 cm、高 40 cm，現有水高 30 cm。魚缸重量為 8 kg。 (a) 魚缸還有多少 L 的剩餘空間？（2分） (b) 題目中「魚缸重量 8 kg」這個資料需要用到嗎？為什麼？（1分）

🌿 進階層（共 3 題，選做）

#	題目	難度	作答區
17	容器長 30 cm、闊 20 cm、高 25 cm，現有水高 18 cm。放入一塊體積 3500 cm³ 的石頭。 (a) 水會否溢出？如果溢出，溢出多少 mL？（3分） (b) 若石頭只浸沒了 80%（20% 露出），水會溢出嗎？上升了多少 cm？（3分）
18	水箱底面積 600 cm²，原有水深 15 cm。先取出一個 1800 cm³ 的石頭，再放入一個 2400 cm³ 的金屬塊。最終水深比原來上升還是下降？變化了多少cm？
19	一個長方體容器長 24 cm、闊 15 cm。放入10個相同大小的波子後，水面上升了 5 cm。每粒波子的體積是多少？

🌳 挑戰層（共 3 題）

#	題目	難度	作答區
20	水箱底面積 500 cm²，高 35 cm。原有水深 28 cm，內有一塊體積未知的石頭A。取出石頭A後，水面下降至 24 cm。問：(a) 石頭A的體積是多少？(b) 若放入一塊體積為 5000 cm³ 的物體B，水會否溢出？
21	容器A（長30cm闊20cm高25cm）原有水深18cm。容器B（長25cm闊20cm高30cm）原有水深22cm。從A取出一塊石頭（體積1500cm³，完全浸沒）放入B。 (a) A的水面下降了多少cm？（2分） (b) B的水面上升了多少cm？（2分） (c) B的水會溢出嗎？（2分） (d) 若操作相反（從B取出同體積石頭放入A），A會溢出嗎？（2分）
22	一個長方體水箱底面積 800 cm²，原有水高 20 cm。放入一塊長方體磚（長 15 cm、闊 10 cm、高 8 cm）完全浸沒。水面上升了多少？若磚的高度改為 12 cm 且不能完全浸沒（水深不夠），有什麼不同？

🏔️ 終極挑戰（共 2 題）

#	題目	難度	作答區
23	圓柱形容器半徑 10 cm，原有水深 12 cm。放入一個密度為 0.6 g/cm³ 的木塊（體積 800 cm³）。已知木塊只有 60% 浸沒在水中（40% 露出水面）。問：水位上升多少 cm？（π 取 3.14；答案四捨五入至一位小數）
24	水箱長 50 cm、闊 40 cm、高 45 cm，原有水深 30 cm。依次放入A、B兩塊石頭（體積分別為 8000、12000 cm³）。問：(a) 放入A後水位升至多少 cm？(b) 放入B後水會溢出嗎？若溢出，溢出多少 L？

四、應用題（15 分鐘）專項（呈分試排水法應用題 — 含圓柱/複合圖形）

#	題目	難度	作答區
25	一個長方體魚缸長 60 cm、闊 40 cm、高 50 cm，原有水高 35 cm。小明放入一塊大石頭（完全浸沒），水面上升至 42 cm。石頭的體積是多少 cm³？是多少 L？
26	一個正方體水箱邊長 30 cm，裝滿了水。放入一塊石頭後，溢出 2.7 L 的水。問石頭的體積至少是多少 cm³？石頭有沒有完全浸沒？（試繪圖解釋）
27	一個圓柱形水桶，內直徑 40 cm，高 50 cm。原有水深 30 cm。放入一塊不規則石頭完全浸沒後，水位升至 36 cm。(a) 石頭的體積是多少 cm³？(b) 是多少 L？（π 取 3.14；答案四捨五入至整數）
28	一個容器長 45 cm、闊 30 cm、高 35 cm。現有水深 25 cm。放入一個長方體鐵塊（長 15 cm、闊 10 cm、高 12 cm）完全浸沒。(a) 鐵塊的體積是多少？(b) 水面上升了多少cm？(c) 水會溢出嗎？
29	水箱A（底面積 600 cm²）有水深 30 cm。水箱B（底面積 400 cm²）有水深 15 cm。從水箱A取出一塊石頭（體積 3000 cm³）放入水箱B。問：(a) 水箱A的水面下降了多少？(b) 水箱B的水面上升了多少？(c) 水箱B的水會溢出嗎？（水箱B高 25 cm）
30	一個容器底為「L形」組合圖形（由兩個長方形組成：20 cm × 30 cm + 10 cm × 15 cm），容器高 40 cm，原有水深 25 cm。放入一塊體積為 5000 cm³ 的石頭完全浸沒。問：水位上升多少 cm？（答案取至小數點後一位）

五、截面法與柱體體積（8 分鐘）SSPA 高頻

梯形截面 × 長度

L形 = 分割成兩個長方形

統一体積公式

核心公式：柱體體積 = 截面面積 × 柱長（高）SSPA必考

關鍵理解：任何柱體（長方體、圓柱、三角柱、梯形柱、L形柱），只要截面形狀不變，體積 = 截面面積 × 柱長。
SSPA 常見考法：給你截面尺寸（如梯形上下底和高），再給柱長，求體積 → 再結合排水法求水位變化。

#	題目	難度	作答區
31	一個柱體的截面是梯形，上底 8 cm、下底 12 cm、高 5 cm，柱長 30 cm。 (a) 求此柱體的體積。（2分） (b) 若將此柱體完全浸沒在底面積為 200 cm² 的水箱中，水位會上升多少 cm？（2分）
32	一個 L 形柱體的截面由兩個長方形組成：A（20 cm × 30 cm）及 B（10 cm × 15 cm），柱長 40 cm。原有水箱底面積 500 cm²，水深 18 cm。放入此 L 形柱體完全浸沒後，水位變為多少？（5分）
33	圓柱形水桶內直徑 28 cm，高 45 cm，原有水深 30 cm。放入一個三角柱體（截面為三角形：底 10 cm、高 8 cm，柱長 25 cm）完全浸沒。 (a) 此三角柱體的體積是多少？（2分） (b) 放入後水位上升多少 cm？（π 取 22/7）（3分） (c) 水會溢出嗎？（1分）

六、SSPA 終極殺手題 — 多角度混合（10 分鐘）呈分試 5★

#	題目	難度	作答區
34	【速率+體積】水龍頭每分鐘注水 15 L。一個長方體水箱長 80 cm、闊 50 cm、高 60 cm，原本是空的。 (a) 注水 12 分鐘後，水深是多少 cm？（3分） (b) 繼續注水，從開始計起，多少分鐘後水開始溢出？（3分） (c) 若在注水 10 分鐘時放入一塊 24000 cm³ 的石頭（完全浸沒），溢出時間會提前還是延遲？提前/延遲了多少分鐘？（4分）
35	【比例+體積】兩個相似的正方體水箱 A 和 B。A 的邊長是 B 的 2 倍。B 裝滿水需要 5 L。 (a) A 的體積是 B 的多少倍？（2分） (b) A 裝滿水需要多少 L？（2分） (c) 若將 B 裝滿的水全部倒入 A，A 的水深是 A 高度的幾分之幾？（3分） (d) 再放入一個體積為 8000 cm³ 的物體到 A 中，A 的水位會上升多少 cm？（3分）
36	【逆向+多餘資訊】水箱底面積為 600 cm²，高 40 cm。水箱重量為 12 kg，材質為玻璃。放入一塊石頭後，水位從 18 cm 升至 24 cm。之後取出石頭，改放入一個體積為原石頭 1.5 倍的金屬塊。 (a) 原石頭的體積是多少？（2分） (b) 放入金屬塊後，水位比「未放任何物體時」上升了多少 cm？（3分） (c) 題目中哪些資料是多餘的？請列出。（2分）
37	【三缸連通+逆向】三個水箱 X、Y、Z，底面積比為 4:2:1。X 原有水深 20 cm（內有一塊完全浸沒的 4000 cm³ 石頭），Y 原有水深 15 cm，Z 是空的。 (a) 從 X 取出石頭後，X 的水深變為多少？（3分） (b) 將石頭放入 Z，再從 Y 倒一半的水到 Z，Z 的水深恰好等於 X 目前的水深。求 Z 的底面積。（5分） (c) 若 Z 的高度為 22 cm，操作後 Z 的水會溢出嗎？（2分）

七、本堂核心易錯點總結

✅ 本堂自我檢查（完成後打剔）

☐ 我識得分辦每個知識點嘅陷阱 ☐ 我能夠獨立完成🌱基礎題 ☐ 我能夠挑戰🌿進階題 ☐ 我能夠挑戰🌳挑戰題 ☐ 我能夠完成截面法題目 ☐ 我能夠挑戰🏔️SSPA殺手題 ☐ 我記得住口訣

🎯 學習目標回顧 — 完成本堂後你應該能夠：

☐ 辨認本堂所有陷阱類型 ☐ 獨立解答🌱基礎題（100%正確） ☐ 挑戰🌿進階題（80%+正確） ☐ 挑戰🌳🏔️高難度題（60%+正確） ☐ 運用截面法解柱體體積題（80%+） ☐ 向同學解釋本堂口訣

#	易錯點	正確做法
1	用水面新高度直接計體積：V = 底面積 × 新水深	必須用高度差：V = 底面積 × (h_後 − h_前)
2	忘記檢查溢出條件：直接用上升公式不檢查是否超容器高度	先計算剩餘空間，若體積超過剩餘空間則會溢出
3	底面積計算錯誤（長×闊調轉）：用錯的底面積導致全題錯	底面積 = 長 × 闊，仔細核對長和闊的數值
4	單位混淆（mL vs cm³ vs L）：不加換算直接比較	1 mL = 1 cm³，1 L = 1000 cm³，換算後才計算
5	取出A放B時只用單一體積：忘記水面先下降再上升	水面淨變化 = (V_B − V_A) ÷ 底面積
6	物體未完全浸沒仍用排水法：部分浸沒的排水量 ≠ 物體體積	必須確認完全浸沒；部分浸沒時公式不適用
7	正方體容器底面積計錯：只用了邊長而非 a²	正方體底面積 = 邊長 × 邊長 = a²
8	部分浸沒（浮體）誤用排水法：浮體只有浸沒部分排水，學生用物體總體積計算	排水體積 = 物體浸沒部分體積 ≠ 物體總體積；需知浸沒比例或密度
9	複合底面積計算錯誤：L形/組合容器底面積未正確分割計算	將組合圖形分割為多個長方形，分別計面積再相加
10	忘記截面法公式：只用長×闊×高，不懂柱體=截面×柱長	任何柱體體積 = 截面面積 × 柱長（高）；梯形截面=(上底+下底)×高÷2
11	被多餘資訊誤導：用了題目中不需要的數據（如重量、材質）	先標出關鍵數據（長/闊/高/水深/體積），劃掉與體積/容量無關的資訊
12	速率+體積時間單位混淆：分鐘 vs 秒，L/min vs cm³/min	統一單位：1 L = 1000 cm³；1 分鐘 = 60 秒；注水量 = 速率 × 時間

本堂核心口訣：「排水體積靠上升，高度差來最要緊；溢出先計剩餘位，浮體只計浸沒分；截面乘長是柱體，多餘資訊要丟棄；單位統一再比拼，速率時間看仔細」

計底面積

長 × 闊 = 容器底面積

算高度差

新水深 − 原水深 = 上升高度

乘出體積

底面積 × 高度差 = 物體體積

檢查溢出

比較V_物與剩餘空間

八、課後功課

基礎必做題（共 5 題）

#	題目	難度	作答區
H1	水箱底面積 350 cm²，放入石頭前水深 12 cm，放入後水深 16 cm。石頭體積是多少？
H2	正方體容器邊長 18 cm，原有水深 10 cm。放入金屬塊後水面升至 15 cm。金屬塊體積是多少？
H3	容器長 35 cm、闊 25 cm、高 30 cm，原有水深 22 cm。放入 1800 cm³ 的石頭，水會溢出嗎？
H4	水箱底面積 450 cm²，原有水深 18 cm。先取出一個 1350 cm³ 的物體，再放入一個 2250 cm³ 的物體。最終水深是多少？
H5	2500 mL = ？cm³ = ？L（單位換算）

進階選做題（共 3 題）

#	題目	難度	作答區
H6	水箱長 50 cm、闊 40 cm、高 35 cm，原有水深 28 cm。放入一塊 6000 cm³ 的石頭。(a) 水會溢出嗎？(b) 如果溢出，溢出多少 L？
H7	有兩個水箱：A（底面積 500 cm²，水深 20 cm）和 B（底面積 300 cm²，水深 10 cm）。從A取出一塊石頭（體積 2500 cm³，完全浸沒）放入B。 (a) B的水面上升了多少cm？（2分） (b) 若B高 22 cm，B會溢出嗎？（2分） (c) 若該石頭改為木塊（只有 60% 浸沒），B的水面上升多少？（2分） (d) 操作後，從B再取出該石頭放回A（假設A在這期間水位沒變），A的水位最終比「最初A的水位」高了多少還是低了多少？（2分）
H8	一個長方體水箱，長是闊的2倍，高是闊的1.5倍。若闊為 20 cm，水箱裝了 35 滿的水。放入一塊石頭後，水面升至離箱頂 2 cm。石頭體積是多少？

🏠 家長角落 · Parent Corner

今日學咗咩？ 小朋友學咗「容量與體積進階」。
最易錯嘅 3 個陷阱： T8 排水法 — 用水面高度計算體積（而非高度差） · 忽略溢出條件
你可以問小朋友：「你可唔可以解釋「容量與體積進階」嘅最重要口訣俾我聽？」
溫馨提示：唔需要識教數學 — 只需要問小朋友「點解咁計？」同「有冇檢查陷阱？」就夠。

📝 教師參考：熱身題答案 → 1)___ 2)___ 3)___ 4)___ 5)___ | 課堂練習重點關注題號：🌳挑戰層 17-21

霖楓學苑 · LF Academy · 不教數學，教避開陷阱 · LF-P6-上-L16

Print Ctrl+P PDF | 6頁 · 54題 | LF-P6-上-L16 v6

✅ 答案參考（做完先睇！）

📝 答案快查

#	題目	答案
1	一個長方體長 8 cm、闊 5 cm、高 4 cm，體積是多少 cm3？	問老師
2	8000 cm3 = ？L（複習）	問老師
3	容器的底面積是 200 cm2。水的高度上升了 3 cm。水的體積增加了多少 cm3？	問老師
4	一個正方體的邊長是 10 cm，體積是多少？表面積是多少？（複習）	問老師
5	2.5 L = ？cm3（單位換算複習）	問老師

⚠️ 請先自己完成練習，再查答案！🟢=自動計算 🟡=請向老師確認

T 陷阱診斷專區 — 高品質陷阱題

霖楓教研團隊精心設計，每題針對一個常見考試陷阱。4題。

T5 體積 LF-T5-P6-0101

長方體長2m、闊50cm、高30cm，體積=？m³

常見錯誤：3000？要統一：2m×0.5m×0.3m=0.3m³

正確答案：0.3m³

口訣：「體積三維要統一單位」

T5 體積 LF-T5-P6-0102

1立方米 = ？立方厘米

常見錯誤：100？1m³=100×100×100=1,000,000cm³

正確答案：1,000,000cm³

口訣：「1m³=一百萬cm³」

T5 體積 LF-T5-P6-0103

一個容器體積=500cm³，可裝水=？mL

常見錯誤：50mL？1cm³=1mL，所以500cm³=500mL

正確答案：500mL

口訣：「1cm³=1mL，1m³=1000L」

T5 比例 LF-T5-P6-0203

TSA題型：地圖上1cm代表實際500m。地圖上3.5cm代表實際幾多米？

常見錯誤：1750？3.5×500=1750m

正確答案：1750m

口訣：「地圖長度×比例尺=實際距離」

$tkz_fraction$

📝 智能補充練習

🎯 AI自動生成 · 課外延伸練習

#	題目	答案
1	長14闊5高10，體積？	700
2	長12闊3高4，體積？	144
3	長3闊4高3，體積？	36

🧠 高階思維提示：高階思維提示：在容量與體積的進階問題中，要區分「物體體積」與「排水體積」的關係。當物體完全浸沒時，排水體積等於物體體積；但若物體漂浮或懸浮，排水體積小於物體體積。此外，容器形狀的變化（如錐形、組合體）會影響水位計算，需靈活運用體積公式。另一個關鍵是「溢出」條件：當物體放入後，水位上升可能超過容器高度，溢出水量等於（物體體積 - 剩餘空間體積）。記住：畫出示意圖，標註已知與未知，用代數思維設未知數，是攻克難題的法寶。

🏔️

SSPA 殺手級挑戰 — 容量與體積終極試煉

以下5題由AI深度分析SSPA歷屆試題後設計，涵蓋排水法、截面法、單位陷阱、逆向思維、複合體積五大高難度題型。每題附完整解題步驟及常見錯誤陷阱提示。

🌿 進階題1 — 排水法基礎

題目：一個長方體水缸長 40 cm、闊 25 cm、高 30 cm，內裡水深 12 cm。現將一塊體積為 4,000 cm³ 的石頭完全浸入水中，水位會上升多少 cm？

📝 答案與步驟

答案：4 cm

步驟：
1. 水缸底面積 = 40 × 25 = 1,000 cm²
2. 石頭體積 = 底面積 × 上升高度 → 1,000 × h = 4,000
3. h = 4,000 ÷ 1,000 = 4 cm

⚠️ 陷阱：學生常誤將石頭體積除以整個水缸體積，忘記上升高度只與底面積有關！

🌿 進階題2 — 單位轉換陷阱

題目：一個正方體水箱的邊長為 0.5 m，裝滿水後，把水全部倒入一個長方體容器內。長方體容器長 40 cm、闊 25 cm，求水的高度（以 cm 為單位）。

📝 答案與步驟

答案：125 cm

步驟：
1. 統一單位：0.5 m = 50 cm ⬅ 關鍵！
2. 正方體體積 = 50³ = 125,000 cm³
3. 長方體底面積 = 40 × 25 = 1,000 cm²
4. 水的高度 = 125,000 ÷ 1,000 = 125 cm

⚠️ 陷阱：直接代入 0.5 計算是致命錯誤！必須先將所有單位統一為 cm。

🌳 高難度題3 — 複合體積

題目：一個長方體容器長 30 cm、闊 20 cm、高 25 cm，內有水深 10 cm。現放入一個棱長為 10 cm 的正方體鐵塊，鐵塊完全沉入水中。問水位上升多少 cm？（答案以小數表示）

📝 答案與步驟

答案：約 1.67 cm

步驟：
1. 鐵塊體積 = 10³ = 1,000 cm³
2. 容器底面積 = 30 × 20 = 600 cm²
3. 上升高度 = 1,000 ÷ 600 = 1.666... ≈ 1.67 cm

⚠️ 陷阱：需確認鐵塊是否完全浸沒（水深 10+1.67=11.67 < 25 ✓）。注意四捨五入！

🌳 高難度題4 — 逆向思維

題目：一個長方體魚缸長 50 cm、闊 30 cm。放入一塊石頭後，水位由 15 cm 升至 22 cm。若取出石頭後，再放入一個體積為 3,600 cm³ 的裝飾品，水位會變成多少 cm？

📝 答案與步驟

答案：17.4 cm

步驟：
1. 底面積 = 50 × 30 = 1,500 cm²
2. 石頭體積 = 1,500 × (22−15) = 10,500 cm³
3. 取出石頭後，水位回到 15 cm
4. 放入裝飾品後，上升 = 3,600 ÷ 1,500 = 2.4 cm
5. 新水位 = 15 + 2.4 = 17.4 cm

⚠️ 陷阱：石頭和裝飾品體積無關！必須分開處理每個物體的影響。

🏔️ SSPA殺手題5 — 三合一終極題（排水法+單位轉換+截面法）

題目：一個長方體水缸長 0.8 m、闊 0.5 m、高 0.6 m，內有水深 0.3 m。現放入一個不規則金屬塊完全浸入水中，水位上升至 0.45 m。取出金屬塊後，再將一個圓柱體直立放入（圓柱底面半徑 20 cm，高 50 cm），圓柱體完全直立且部分露出水面。問圓柱體浸入水中的高度是多少 cm？（π ≈ 3.14）

🔥 答案與終極步驟

答案：約 43.7 cm

步驟：
1. 統一單位：0.8 m=80 cm, 0.5 m=50 cm, 0.3 m=30 cm, 0.45 m=45 cm
2. 金屬塊體積 = 80×50×(45−30) = 4,000×15 = 60,000 cm³
3. 取出金屬塊後水位回到 30 cm
4. 設最終水位 = h cm（圓柱浸入高度 = h，因直立到底）
5. 水的體積不變：80×50×30 = 120,000 cm³
6. 放圓柱後：水佔空間 = (80×50×h) − (π×20²×h) = 4,000h − 1,256h = 2,744h
7. 120,000 = 2,744h → h = 120,000÷2,744 ≈ 43.7 cm

⚠️ 三重陷阱：①m↔cm轉換極易出錯 ②圓柱浸入高度≠水位上升高度 ③必須用「水體積不變」而非簡單除法！這是SSPA滿分級別題。

進階陷阱卡

⚠️ 陷阱卡 1：混淆「容量」與「體積」單位

❌ 錯誤做法： 一個水桶容量是 20 L，學生在計算時直接寫「體積 = 20 cm³」。

❗ 為何錯： L（升）是容量單位，1 L = 1000 cm³，不能直接當作 cm³ 使用。

✅ 正確做法： 先轉換單位：20 L = 20 × 1000 = 20 000 cm³，然後才進行體積計算。

💡 提醒： 見到「L」或「mL」記得 ×1000 或 ÷1000 變成 cm³！

⚠️ 陷阱卡 2：忽略容器厚度影響容量

❌ 錯誤做法： 量度魚缸外部長 40 cm、闊 20 cm、高 30 cm，直接計算 40×20×30 = 24 000 cm³，並說容量是 24 L。

❗ 為何錯： 外部體積 ≠ 內部容量。容器有厚度，內部空間比外部小。

✅ 正確做法： 必須量度內部長、闊、高（或減去厚度 ×2），再用內部尺寸計算容量。

💡 提醒： 題目說「容器厚度 0.5 cm」，記得長闊高各減 1 cm（兩邊）！

挑戰題

📌 挑戰題 1（4分）

一個長方體水箱，內部長 50 cm、闊 30 cm、高 40 cm。如果注入 45 L 水，水深是多少 cm？

✅ 答案： 30 cm
📝 解題步驟：
① 水箱容量 = 50 × 30 × 40 = 60 000 cm³
② 45 L = 45 × 1000 = 45 000 cm³
③ 水深 = 體積 ÷ 底面積 = 45 000 ÷ (50 × 30) = 45 000 ÷ 1500 = 30 cm
⭐ 分數配置： 單位轉換 1 分｜列式 1 分｜計算 1 分｜正確答案 1 分

📌 挑戰題 2（5分）

一個正方體容器邊長 20 cm，厚度 0.5 cm。求這個容器的容量（以 L 為單位）。

✅ 答案： 6.859 L
📝 解題步驟：
① 內部邊長 = 20 − 0.5 − 0.5 = 19 cm（兩邊各減厚度）
② 內部體積（容量）= 19 × 19 × 19 = 6859 cm³
③ 轉換為 L：6859 ÷ 1000 = 6.859 L
⭐ 分數配置： 正確減厚度 2 分｜內部體積計算 1 分｜單位轉換 1 分｜答案正確 1 分

💡 思維提示： 容量是「容器內部可盛載的空間」，體積是「物件所佔的空間」。見到「容器厚度」要記得減兩次！見到「L、mL」要馬上聯想 ×1000 或 ÷1000 轉 cm³。

📋 家長30秒摘要

本堂重點：掌握各種圖形公式（面積/周界/體積），理解公式來源（點解要 ÷2 / ×π），應用題解題。
常見陷阱：周界同面積混淆（周界係「圍邊」、面積係「入面」）；單位唔統一就計（cm 同 m 要先轉換）；三角形/梯形忘記 ÷2。
在家練習：叫小朋友量度傢俬/房間，計面積同周界。「呢個書桌長 120cm、闊 60cm，面積幾多？周界幾多？」
SSPA 關聯：幾何題佔呈分試約 15-20%，圖形公式必須熟記。

LF Academy · 霖楓學苑 | 香港小學數學專科