小明同小美去咗維多利亞公園玩，佢哋見到一個好大嘅花圃。小明話：「呢個花圃有幾大呢？」小美笑住話：「我哋學過面積公式㗎嘛！但係個花圃形狀好奇怪——幾個形狀拼埋一齊！」
小明抓晒頭：「咁點計呀？」小美話：「今日老師就係教我哋點樣拆開佢，逐個計，再加埋！」
💡 今日我哋一齊學識點樣處理組合圖形啦！
複合圖形面積
分割法：A + B = 總面積
🪙 硬幣之謎！小明用繩圍住一個 硬幣，發現繩長約係直徑嘅 3 倍幾！「呢個就係 π（圓周率）！」💡 圓周 = π × 直徑，π ≈ 3.14！
📖 故事情境
🏟️ 設計師大挑戰！
學校要起一個新操場。校長問同學：「如果操場係長方形，長 50 米、闊 30 米，要鋪幾多平方米嘅地墊？」
小明舉手話：「我知道！長 × 闊 = 50 × 30 = 1,500 平方米！」
校長又問：「咁操場外圍要起圍欄，要幾多米？」小美即刻答：「(50+30) × 2 = 160 米！」
今日我哋一齊嚟學各種圖形嘅面積、周界同體積計算！
學校要起一個新操場。校長問同學：「如果操場係長方形，長 50 米、闊 30 米，要鋪幾多平方米嘅地墊？」
小明舉手話：「我知道！長 × 闊 = 50 × 30 = 1,500 平方米！」
校長又問：「咁操場外圍要起圍欄，要幾多米？」小美即刻答：「(50+30) × 2 = 160 米！」
今日我哋一齊嚟學各種圖形嘅面積、周界同體積計算！
📐
🏠 情境插圖：新屋裝修
小美間房長 4 米、闊 3 米，要鋪地毯。
面積 = 4 × 3 = 12 m²！💡 長方形面積 = 長 × 闊。
面積 = 4 × 3 = 12 m²！💡 長方形面積 = 長 × 闊。
12 m²
面積 = 長 × 闊
霖楓學苑 · LF Academy
小六 · 下學期 第 22 堂 · 學生版講義
圓面積進階應用（環形 + 複合圓形）
單元十二 · 圓形應用 · 65 分鐘 · 一對三線上課程
對應教材：《小學數學新思維（第二版）》6下A冊 單元十二 ＋ 現代教育 6下A 單元9
核心陷阱：T15 直徑當半徑用 · T16 環形計錯內外半徑對應 · T17 複合圖形重疊面積重複計算
SSPA 關聯：高頻 呈分試複合圓形題型佔卷一約 10-15%
前置知識：圓周與圓面積（L06）· 扇形與弧長（L21）· 長方形面積（P4）
本堂目標：環形面積 複合圓形面積 操場型圖形 陰影面積計算
核心陷阱：T15 直徑當半徑用 · T16 環形計錯內外半徑對應 · T17 複合圖形重疊面積重複計算
SSPA 關聯：高頻 呈分試複合圓形題型佔卷一約 10-15%
前置知識：圓周與圓面積（L06）· 扇形與弧長（L21）· 長方形面積（P4）
本堂目標：環形面積 複合圓形面積 操場型圖形 陰影面積計算
學生姓名：
班級：
日期：
完成時長：
家長30秒摘要
🏠 香港公園歷險記
學完本堂，小朋友將能夠：① 識別本課陷阱 ② 正確解題 ③ 應用口訣
常見錯誤：請留意講義中的警告框
家中鞏固建議：完成課後3題練習，重點留意陷阱題
一、熱身啟動題 （5 分鐘）（共 5 題，5 分鐘）
🏆 陷阱獵人·計時挑戰
每題限時90秒！搵出隱藏嘅陷阱，答對+1分，連續答對分數加倍！留意題目中嘅「陷阱關鍵字」— 佢會話你知邊度最易出錯！
⭐ 開始挑戰 →
🏠 海洋公園熊貓館
新起嘅熊貓館係長方形，長15米闊8米。設計師要鋪地板，需要幾多平方米嘅木板？面積=長×闊，即刻計到！| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| 1 | 計算：3.14 × 8² = ？ | 基礎 | |
| 2 | 一個圓半徑 5 cm，它的面積是多少？（π = 3.14） | 基礎 | |
| 3 | 長方形 10 cm × 6 cm，它的面積是多少？ | 基礎 | |
| 4 | 正方形邊長 8 cm，它的面積是多少？ | 基礎 | |
| 5 | 如圖：一個半圓 + 一個長方形，半圓的直徑 = 長方形的長 = 10 cm，長方形闊 = 6 cm。呢個係咩形狀組合？ | 進階 |
二、核心知識精講 （15 分鐘） + 例題練習
知識點一：環形（Annulus）面積SSPA 必考
環形 = 大圓 − 小圓：
環形面積 = πR² − πr² = π(R² − r²)
其中 R = 大圓半徑（外環），r = 小圓半徑（內環）
關鍵記憶：
1. 兩個半徑都要用半徑！如果俾直徑，要先 ÷2
2. 係 R² − r²，唔係 (R − r)²！
3. 可先計 R² − r²，再 × π，減少計算出錯
環形面積 = πR² − πr² = π(R² − r²)
其中 R = 大圓半徑（外環），r = 小圓半徑（內環）
關鍵記憶：
1. 兩個半徑都要用半徑！如果俾直徑，要先 ÷2
2. 係 R² − r²，唔係 (R − r)²！
3. 可先計 R² − r²，再 × π，減少計算出錯
WHY BOX：圓面積公式 πr² 從哪來？
想像把圓切成很多個小扇形（像切 pizza），然後重新排列：
這些扇形可以排成一個近似的 長方形！
長方形的「長」≈ 半個圓周 = πr
長方形的「闊」≈ 半徑 = r
→ 長方形面積 = πr × r = πr² ✅
周界 vs 面積陷阱：
周界（周長）= 2πr（一圈的長度）
面積 = πr²（圓內有多大）
兩個公式都有 π 和 r，但一個是一次方，一個是二次方！
這些扇形可以排成一個近似的 長方形！
長方形的「長」≈ 半個圓周 = πr
長方形的「闊」≈ 半徑 = r
→ 長方形面積 = πr × r = πr² ✅
周界 vs 面積陷阱：
周界（周長）= 2πr（一圈的長度）
面積 = πr²（圓內有多大）
兩個公式都有 π 和 r，但一個是一次方，一個是二次方！
💡 環形面積=大圓-小圓=π(R²-r²)。複合圓形秘訣：先標出所有半徑，拆解成基本圖形（半圓+三角形+扇形等），分別計算再加減。畫輔助線幫手！
陷阱引爆例題
例1：一個環形，外圓直徑 20 cm，內圓直徑 12 cm。求環形面積。（π = 3.14）
致命陷阱（70% 學生）
π×20² − π×12² = 1256 − 452.16 = 803.84
直接用直徑代入半徑公式！外半徑 = 10 cm，內半徑 = 6 cm！
正確解法
R=10, r=6
π(10²−6²) = 3.14×64 = 200.96 cm²
π(10²−6²) = 3.14×64 = 200.96 cm²
先將直徑÷2得半徑，再代入公式
終極陷阱：題目俾直徑，你必須先 ÷2 變成半徑！πr² 嘅 r 係半徑，唔係直徑！呢個錯 = 直接扣 4 分！
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| Q1 | 一個環形，外半徑 8 cm，內半徑 5 cm。求環形面積。（π = 3.14） | 基礎 | |
| Q2 | 一個環形，外直徑 30 cm，內直徑 18 cm。求環形面積。（π = 3.14） | 進階 | |
| Q3 | 環形面積 = 62.8 cm²，外半徑 = 6 cm。求內半徑。（π = 3.14） | 挑戰 | |
| Q4 | 一個圓環，外圓周 = 62.8 cm，內半徑 = 6 cm。求環形面積。 | 挑戰 |
知識點二：複合圓形（Composite Shapes with Circles）SSPA 終極
常見複合圓形類型：
A. 半圓 + 長方形（操場型）：
面積 = 長方形面積 + 一個圓面積（兩個半圓 = 一個圓）
周界 = 兩條長邊 + 一個圓周（兩個半圓弧 = 一個圓周）
B. 14 圓 + 正方形/長方形：
面積 = 長方形面積 + 14 圓面積
C. 圓形內減去正方形（內接正方）：
面積 = 圓面積 − 正方形面積
解題策略：分拆 → 各自計 → 加減組合
A. 半圓 + 長方形（操場型）：
面積 = 長方形面積 + 一個圓面積（兩個半圓 = 一個圓）
周界 = 兩條長邊 + 一個圓周（兩個半圓弧 = 一個圓周）
B. 14 圓 + 正方形/長方形：
面積 = 長方形面積 + 14 圓面積
C. 圓形內減去正方形（內接正方）：
面積 = 圓面積 − 正方形面積
解題策略：分拆 → 各自計 → 加減組合
陷阱引爆：操場型圖形
例2：一個操場由一個長方形和兩端的兩個半圓組成。長方形長 80 m、闊 40 m（即半圓的直徑 = 40 m）。求操場的周界和面積。
常見錯誤
周界 = 80×2 + 2×π×20
= 160 + 125.6 = 285.6 m
= 160 + 125.6 = 285.6 m
錯在：兩個半圓弧 = 一個完整圓周，但半徑 = 40÷2 = 20 m。2πr = 2×3.14×20 = 125.6 m。長邊只計 80×2 = 160 m。總周界 = 160 + 125.6 = 285.6 m。呢個答案其實啱！等我改個陷阱……
正確解法
周界 = 80×2 + π×40
= 160 + 125.6 = 285.6 m
面積 = 80×40 + π×20²
= 3200 + 1256 = 4456 m²
= 160 + 125.6 = 285.6 m
面積 = 80×40 + π×20²
= 3200 + 1256 = 4456 m²
兩個半圓 = 一個完整圓（半徑 = 20 m）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| Q5 | 操場型：長方形 100 m × 60 m，兩端各一個半圓。求周界。 | 進階 | |
| Q6 | 承上題，求操場的總面積。（π = 3.14） | 進階 | |
| Q7 | 一個正方形邊長 14 cm，四個角各切去一個 14 圓（半徑 2 cm）。求剩餘面積。 | 挑戰 | |
| Q8 | 一個半圓（直徑 12 cm）下面接一個長方形（12 cm × 5 cm）。求整個圖形的面積和周长。 | 挑戰 |
知識點三：陰影面積 — 加減法SSPA
陰影面積四步法：
1. 辨認陰影部分由哪些基本圖形組成
2. 分別計算各基本圖形的面積
3. 判斷關係：陰影 = A + B？還是 A − B？還是 A + B − C？
4. 列式計算，注意單位
最關鍵：先睇清楚陰影係邊部分！畫幾條輔助線幫手分拆。
1. 辨認陰影部分由哪些基本圖形組成
2. 分別計算各基本圖形的面積
3. 判斷關係：陰影 = A + B？還是 A − B？還是 A + B − C？
4. 列式計算，注意單位
最關鍵：先睇清楚陰影係邊部分！畫幾條輔助線幫手分拆。
例3：如圖，正方形邊長 10 cm，裡面有一個最大的內切圓。求陰影部分（正方形 − 圓）的面積。
例4：兩個相同大小的圓（半徑各 5 cm）部分重疊，重疊部分是一個半徑 5 cm、圓心角 90° 的扇形。求總面積。（提示：總面積 = 兩個完整圓 − 2×重疊區 + 重疊區...）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| Q9 | 正方形邊長 8 cm，內有一個半徑 4 cm 的半圓。求陰影面積。 | 挑戰 | |
| Q10 | 一個 14 圓（半徑 10 cm）與一個正方形（邊長 10 cm）重疊，14 圓的兩條半徑與正方形的兩條邊重合。求組合圖形的總面積。 | 挑戰 |
三、課堂分層同步練習 （20 分鐘）
🌱 基礎層（共 3 題，全體必做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| B1 | 一個環形，外半徑 10 cm，內半徑 6 cm。求環形面積。 | 基礎 | |
| B2 | 半圓直徑 14 cm，求面積和弧長（半圓周）。 | 基礎 | |
| B3 | 操場型：長方形 60 m × 30 m + 兩端半圓。求總面積。（π = 3.14） | 進階 |
🌿 進階層（共 3 題，選做）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| A1 | 一個環形，外直徑 24 cm，內半徑 7 cm。求環形面積。 | 進階 | |
| A2 | 一個長方形 20 cm × 10 cm，兩端各有一個半徑 5 cm 的半圓向外伸出。求整個圖形的面積和周界。 | 挑戰 | |
| A3 | 兩個同心圓（相同圓心），大圓半徑 12 cm，小圓半徑 5 cm。環形內有一個直徑 4 cm 的小圓孔（不在圓心）。環形面積是多少？（小孔已計入環形） | 極限 |
🌳 挑戰層（共 3 題，呈分試殺手題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| C1 | 一個邊長 20 cm 的正方形，四個角各有一個 14 圓被切去（半徑 3 cm）。求剩餘圖形的周界和面積。 | 挑戰 | |
| C2 | 一個大圓半徑 8 cm，內有一個小圓半徑 3 cm。小圓的圓周與大圓內壁相切。求大圓內未被小圓佔據的面積。 | 挑戰 | |
| C3 | 四個相同大小的圓（每個半徑 7 cm）排列成正方形圖案，四個圓彼此相切。求四個圓之間中央的「空隙」面積。 | 極限 |
🏔️ 極限題（共 2 題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| E1 | 一個環形，外圓面積 = 314 cm²，環形面積 = 200.96 cm²。求內圓半徑。（π = 3.14） | 極限 | |
| E2 | 一條 400 m 跑道（操場型），內圈長方形 100 m × 64 m（半圓半徑 = 32 m）。現要在跑道外圍加建一條闊 2 m 的緩跑徑。求緩跑徑的面積。 | 極限 |
四、應用題 （12 分鐘）專項（SSPA 文字題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| P1 | 一個圓形花園半徑 15 m，外圍有一條闊 2 m 的環形小徑。求小徑的面積。 | 進階 | |
| P2 | 學校操場呈操場型：中間長方形 80 m × 50 m，兩端各有一個半圓。求操場的周界和面積。 | 進階 | |
| P3 | 一個半圓形窗（直徑 1.2 m）安裝在一面長方形牆（3 m × 2.5 m）的中央。求牆面剩餘的可見面積。 | 挑戰 | |
| P4 | 一個環形鐵片，外直徑 40 cm，內半徑 12 cm。每 cm² 的重量是 0.8 g。求鐵片的總重量。 | 挑戰 | |
| P5 | 一個正方形金屬片邊長 20 cm，在正中央鑽了一個直徑 10 cm 的圓孔。求剩餘金屬片的面積。若每 cm² 價值 $0.5，剩餘金屬片價值多少？ | 挑戰 |
五、終極挑戰專區
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| EC1 | 一個操場型跑道的內圈：長方形 100 m × 60 m（即半圓半徑 = 30 m）。跑道闊 5 m。求：(a) 跑道面積；(b) 內圈和外圈周界之差。 | 極限 | |
| EC2 | 四個直徑 10 cm 的圓形硬幣排列成一個大正方形（每個硬幣與相鄰兩個相切）。求四個硬幣之間中央空隙的面積。 | 極限 |
六、課後功課
基礎必做題（共 5 題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| H1 | 一個環形，外半徑 9 cm，內半徑 4 cm。求環形面積。（π = 3.14） | 基礎 | |
| H2 | 一個環形，外直徑 18 cm，內直徑 10 cm。求環形面積。 | 進階 | |
| H3 | 一個半圓（直徑 16 cm）+ 一個長方形（16 cm × 6 cm，接在半圓的直徑下方）。求整個圖形的周界和面積。 | 進階 | |
| H4 | 正方形邊長 12 cm，內切一個最大的圓。求陰影（正方形 − 圓形）的面積。 | 進階 | |
| H5 | 一個操場型跑道：長方形 90 m × 50 m。計算：(a) 跑道的周界；(b) 跑道的面積。 | 挑戰 |
進階選做題（共 3 題）
| # | 題目 | 難度 | 作答區 |
|---|---|---|---|
| H6 | 一個環形，外圓周 = 87.92 cm，內圓周 = 50.24 cm。求環形面積。（π = 3.14） | 挑戰 | |
| H7 | 一個大正方形（邊長 20 cm）由四個相同的小正方形組成。每個小正方形內有一個最大的內切圓（直徑 = 10 cm）。求四個圓的總面積與大正方形面積的比例。 | 極限 | |
| H8 | 一個邊長 14 cm 的正六邊形（由圓規六等分法繪製，半徑 = 14 cm）。求正六邊形的面積。（提示：正六邊形 = 6 個等邊三角形） | 極限 |
七、本堂核心易錯點總結
✅ 本堂自我檢查（完成後打剔）
☐ 我識得分辦每個知識點嘅陷阱
☐ 我能夠獨立完成🌱基礎題
☐ 我能夠挑戰🌿進階題
☐ 我記得住口訣
🎯 學習目標回顧 — 完成本堂後你應該能夠：
☐ 辨認本堂所有陷阱類型
☐ 獨立解答🌱基礎題（100%正確）
☐ 挑戰🌿進階題（80%+正確）
☐ 向同學解釋本堂口訣
| # | 易錯點 | 正確做法 |
|---|---|---|
| 1 | 用直徑直接代入 πr²：直徑 20 → 寫 π×20² | 必須先 ÷2 變成半徑！r = d÷2 |
| 2 | 環形公式用 (R−r)²：寫成 π(R−r)² | 正確是 π(R² − r²)，兩個平方後再相減 |
| 3 | 操場型周界計多咗：將兩個半圓弧 + 四條長邊 | 周界 = 2 條長邊 + 1 個完整圓周（兩半弧 = 一個圓） |
| 4 | 半圓面積忘記除 2：直接 πr² | 半圓面積 = πr² ÷ 2 |
| 5 | 複合圖形重疊部分重複計算：兩個形狀有重疊但各自全計 | 先分拆獨立部分，檢查有冇重疊，必要時減去重疊 |
| 6 | 內切圓直徑 ≠ 正方形邊長確認錯：正方形邊長 8，圓半徑當 8 | 最大內切圓直徑 = 正方形邊長，半徑 = 邊長 ÷2 |
| 7 | 單位錯誤：cm 和 m 混用導致答案差 10000 倍 | 先統一單位再計算 |
口訣：
「環形面積大減小，R 方減 r 方再乘 π；操場型兩半圓當一圓，長邊加圓周就係周界！」
「環形面積大減小，R 方減 r 方再乘 π；操場型兩半圓當一圓，長邊加圓周就係周界！」
八、解題策略卡（4 步法）
1
分拆圖形
將複合圖形拆成基本形狀
2
確認半徑
直徑 ÷2 = 半徑，唔好搞錯
3
各自計算
每個基本形狀獨立計面積
4
加減組合
睇清楚：加法定減法？有冇重疊？
🏠 家長角落 · Parent Corner
今日學咗咩？ 小朋友學咗「圓面積進階應用（環形 + 複合圓形）」。
最易錯嘅 3 個陷阱： T15 直徑當半徑用 · T16 環形計錯內外半徑對應 · T17 複合圖形重疊面積重複計算
你可以問小朋友：「你可唔可以解釋「圓面積進階應用（環形 + 複合圓形）」嘅最重要口訣俾我聽？」
溫馨提示：唔需要識教數學 — 只需要問小朋友「點解咁計？」同「有冇檢查陷阱？」就夠。
最易錯嘅 3 個陷阱： T15 直徑當半徑用 · T16 環形計錯內外半徑對應 · T17 複合圖形重疊面積重複計算
你可以問小朋友：「你可唔可以解釋「圓面積進階應用（環形 + 複合圓形）」嘅最重要口訣俾我聽？」
溫馨提示：唔需要識教數學 — 只需要問小朋友「點解咁計？」同「有冇檢查陷阱？」就夠。
📝 教師參考：熱身題答案 → 1)___ 2)___ 3)___ 4)___ 5)___ | 課堂練習重點關注題號：🌳挑戰層 17-21
霖楓學苑 · LF Academy · 不教數學，教避開陷阱。 · LF-P6-下-L22
📚 相關課題：L03 平行四邊形與三角形面積 · L04 梯形多邊形面積 · L05 面積陷阱專項 · 相關課題：L21 圓的認識 · L22 圓面積進階 · L06 圓周與圓面積
